Как правило, при описании Метода Конечных Элементов его позиционируют как метод решения систем дифференциальных уравнений и практически всё внимание уделяют математической стороне его реализации. Так, мне не сразу удалось найти подходящее к нашим задачам его определение: - "Сущность метода конечных элементов (МКЭ) отражается в его названии и заключается при его использовании в разделении конструкций и сооружений тем или иным способом на ряд частей, отдельных элементов достаточно простой конфигурации – конечных элементов. Размеры этих элементов обычно малы по сравнению с размерами всей конструкции, сооружения, но имеют конечные значения." (Игнатюк В. И. Метод конечных элементов в расчетах стержневых систем: Учебное пособие. – Брест: БГТУ, 2007. "https://core.ac.uk/download/pdf/337278485.pdf"). Наша программа полностью соответствует этому определению. При её разработке мы ориентировались на сторонников прямого  моделирования конструкций Конечными Элементами с заменой целого связанной совокупностью отдельных его частей и, следовательно, необходимо возможно точнее определить объект с которым мы работаем. В нашей интерпретации, учитывая не только расчёт отдельных конструкций но и их комбинаций  (Рам),   термином  "Конечный Элемент" мы будем обозначать целую отдельную конструкцию или её часть для которой однозначно определены все связи между допустимыми внешними  воздействиями  и  учитываемыми  реакциями   "Элемента"  на них. 

Мы рассматриваем "Конечный Элемент" как самодостаточную деталь при делении исходной конструкции на составные части необходимые для получения удовлетворяющего нас  расчётного решения. При этом критерием достаточности считаем, в том числе, системность (формализуемость), удобство пользования и возможность модернизации. Что бы избежать путаницы вместо термина "КЭ" мы будем использовать термины: "Парциальная Система" при делении одиночной конструкции на две сопрягаемые части, "Базовый Элемент" при расчёте ПС и "Парциальная Конструкция" при расчёте связанных конструкций.


( Так, ниже приведён пример в котором в качестве КЭ рассматривается упруго защемлённая консольная балка (Исходная конструкция разделена на две части "Парциальные Системы" и каждая из частей рассматривается как отдельный КЭ. Это допустимо до тех  пор, пока для смещений свободного конца балки мы можем использовать явные зависимости:


Wл = F1(N,M,Qл),

Wп = F2(N,M,Qп),

Vл = F3(N,M,Qл),

Vп = F4(N,M,Qп),


где F1, F2, F3 и F4 - заранее определённые аналитические функции зависящие только от внутренних свойств "элемента" среди которых  могут рассматриваться и граничные условия, и внешняя нагрузка на элемент (Qл и Qп), и иные его свойства.   N и M - перерезывающая сила и изгибающий момент  в сечении. Если это не так, то "супер элемент" необходимо разделить на более мелкие "элементы".)


Рассмотрим Задачу; Имеются две "Левая" и "Правая" отдельные упруго защемлённые призматические статически определимые балки несущие некоторую нагрузку "Q". Надеюсь, что расчёт подобных конструкций не вызывает у читателя затруднений. Но, если объединить конструкции в одну, задача заметно усложняется и для её решения, даже только в точке соединения, приходится делить конструкцию минимум на два "элемента" и использовать  для нахождения перерезывающей силы "N" и изгибающего момента "М"  уравнения неразрывности деформаций  (2 уравнения). 


Wл(N,M,Qл)  =  Wп(N,M,Qп);

Vл(N,M,Qл)  =  Vп(N,M,Qп);



Если требуется более детальное решение или конструкция усложняется (дополнительные опоры, переменность поперечного сечения и т.п.), то делить её приходится на большее число "элементов" и, соответственно, решать систему уравнений совместности деформаций более высокого прядка. 



Применённый подход допустимо назвать "классическим вариантом метода конечных элементов" главным недостатком которого можно считать необходимость совместного решения системы алгебраических уравнений высокого порядка даже для квазиодномерных конструкций.


Рассмотрим несколько иной подход к использованию "конечно-элементной" модели основанный на линейности связи между нагрузкой и вызываемыми ей деформациями (кратное изменение нагрузки вызывает кратное изменение деформации) в сочетании с методом суперпозиции.

При вычислении внутренних усилий и деформаций в любом сечении мы всегда будем использовать только два "супер элемента" - правую "П" и левую "Л"  Парциальные Системы, а детализированную конструкцию представлять необходимым набором  таких  пар.



Максимальный порядок решаемой системы алгебраических уравнений в нашем случае равен рассматриваемому числу степеней свободы сечения конструкции (в примере - 2). При этом, надо отметить, что суммарное число решаемых уравнений при одинаковом числе рассчитываемых сечений будет равно порядку системы уравнений в "классическом" варианте. Мы заменили решение одной общей задачи (со всем набором общих граничных условий) совокупностью решений частных задач (каждая с ограниченным набором локальных граничных условий) - комбинаций  ПС.  Да, при добавлении к ПС новой  "детали"  (масса, опора, стержень и т.д.) мы тоже решаем краевую задачу, но либо с известным решением либо с решением которое мы в состоянии реализовать.   Кроме того, внимательный читатель заметит, что уравнения неразрывности в первом варианте при двух КЭ практически идентичны с уравнениями нашего варианта. Отличие только в методе вычисления коэффициентов..


В качестве основного параметра при расчёте используем не внутренние усилия, а матрицу включающую перемещения по осям связанной системы координат от отдельного действия единичных нагрузок - "Парциальные Отклики" с добавлением "Парциальных Параметров" -   смещений ПС от внешней нагрузки на ПС  вычисляемых через ПО. (Допустимо использовать общее название - "Матрица ПО"). Схематично такой "супер элемент" можно изобразить как упругую заделку с известной матрицей ПО в точке контакта.


Главный вычислительный процесс основан на алгоритме расчёта изменений матрицы ПО при добавлении к ПС нового Базового Элемента, вернее - последовательности составляющих его деталей.  Включение которых в Парциальную Систему - "Упругую заделку" - всегда "Решение локальной краевой задачи". 

Хочется отметить, что и подключение новой детали и соединение парциальных систем может быть многоточечным. Это приведёт к увеличению порядка матрицы  ПО (в каждой точке надо вычислить податливости от единичных усилий во всех других точках сечения). При этом допустимо рассматривать в качестве ПО не только механические характеристики.



 Парциальная Система функционально самодостаточна и до присоединения очередной детали ничего о ней не знает, а включив её в себя, знает и сохраняет только свои новые параметры для добавления следующей детали или для сопряжения с другой ПС (о которой до момента возможного сопряжения она тоже ничего не знает). Возможны случаи (например, некоторые задачи по устойчивости) в которых вторая ПС и уравнения неразрывности деформаций  вообще не нужны (К истории расчёта балок).

Собственно  говоря, расчёт Связанных Конструкций (В настоящее время с решением объединённой системы уравнений неразрывности деформаций  СК.) тоже есть расчёт многоточечного соединения нескольких "Парциальных Конструкций" в общее целое, которое, в свою очередь, может рассматриваться как  Парциальная Система. 

Возможность следовать путём последовательного добавления к существующей ПС  - "РАМЕ" нового «Элемента» — отдельной "ПКУК" или "РАМЫ", безусловно есть и это позволит не только снизить число одновременно решаемых уравнений но и повысит достоверность их решения даже при наличии снижающих его устойчивость факторов, “локализовать“ их. Более того, это путь перехода от одномерных конструкций к расчёту объёмных объектов.  Однако, конкретных попыток реализации подобного подхода, даже скорее КОНЦЕПЦИИ, пока не делалось.

Created with the Personal Edition of HelpNDoc: Write EPub books for the iPad